CNC 2025 MP Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2025, filière MP, en 4 heures. Thème : Autour de la trace.

À savoir sur cette copie. Cette copie est une ressaisie du sujet par un enseignant, pas le document officiel : elle peut contenir des fautes de frappe. En cas de doute, c'est le sujet officiel qui fait foi. Elle sera remplacée dès que nous aurons une copie officielle.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : diagonalisation d'une matrice d'ordre 3. Base adaptée à un plan de R^3, polynôme annulateur X^2 - 3X + 2, inverse de A, diagonalisation et calcul de A^n.
• Partie 1 : préliminaires. Linéarité de la trace, Tr(MN) = Tr(NM), invariance par similitude, et étude d'un endomorphisme de M_n(R) défini avec la trace, automorphisme ou projecteur selon la valeur de Tr(A).
• Partie 2 : semi-normes invariantes. Une semi-norme q sur M_n(K) telle que q(MN) = q(NM) est, pour n >= 2, un multiple de |Tr|, à l'aide des matrices élémentaires E_(i,j) ; examen du cas n = 1.
• Partie 3 : caractérisation des symétriques positives. Une matrice A est symétrique positive si et seulement si Tr(AU) <= Tr(A) pour toute matrice orthogonale U, avec des rotations planes et des réflexions comme matrices tests.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés

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