CNC 2021 MP Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2021, filière MP, en 4 heures. Thème : Racines carrées de matrices.

À savoir sur cette copie. Cette copie est une ressaisie du sujet par un enseignant, pas le document officiel : elle peut contenir des fautes de frappe. En cas de doute, c'est le sujet officiel qui fait foi. Elle sera remplacée dès que nous aurons une copie officielle.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : diagonalisation et système différentiel. Diagonalisation d'une famille de matrices M_a d'ordre 3 dans une base de vecteurs propres commune, puis résolution d'un système différentiel linéaire à coefficients constants.
• Partie 1 : n valeurs propres distinctes. Une racine carrée de A = PDP^-1 correspond à une racine carrée de D, qui commute avec D donc est diagonale ; nombre de racines carrées selon le signe des valeurs propres.
• Partie 2 : A = diag(lambda_1 I_n1, ..., lambda_r I_nr). Racines carrées de I_n (symétries), commutant d'une matrice diagonale par blocs, et caractère non borné de l'ensemble des racines carrées de I_n.
• Partie 3 : matrices nilpotentes. Contrainte sur l'indice de nilpotence d'une matrice qui admet une racine carrée, et construction d'une racine carrée de I_n + A à partir du développement limité de racine de (1 + x).
• Partie 4 : matrices symétriques positives. Caractérisation par le signe des valeurs propres, existence et unicité de la racine carrée symétrique positive.
• Partie 5 : un cas complexe. Pour A de M_n(C) sans valeur propre réelle négative, construction par trigonalisation d'une racine carrée dont le spectre est dans le demi-plan Re(z) > 0.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.