CNC 2021 MP Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2021, filière MP, en 4 heures. Thème : Série harmonique, constante d'Euler et loi de Gumbel.

À savoir sur cette copie. Cette copie est une ressaisie du sujet par un enseignant, pas le document officiel : elle peut contenir des fautes de frappe. En cas de doute, c'est le sujet officiel qui fait foi. Elle sera remplacée dès que nous aurons une copie officielle.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : intégrales de Gauss. Convergence des intégrales I_n de x^n exp(-x^2) sur [0, +infini[, relation de récurrence par intégration par parties et valeurs explicites de I_(2k+1) et I_(2k).
• Partie 1 : développement asymptotique de H_n. Convergence de H_n - ln n vers la constante d'Euler gamma, développement de H_n jusqu'à l'ordre 1/n^2 et équivalent du plus petit entier m_n tel que H_(m_n) >= n.
• Partie 2 : deux séries de fonctions. Équivalent de zeta(x) en 1 par comparaison série intégrale, étude de la série alternée des (-1)^n/n^x (convergence, classe C^1) et relation avec zeta, d'où les sommes des séries de terme (-1)^n/n et (-1)^n ln(n)/n.
• Partie 3 : calcul d'une intégrale. Calcul de l'intégrale de -ln(u) e^(-u) sur [0, +infini[ par des intégrales approchées utilisant (1 - u/n)^n et un passage à la limite, qui fait apparaître gamma.
• Partie 4 : loi de Gumbel. Densité, fonction de répartition et espérance de la loi de Gumbel, puis convergence en loi de max(X_1, ..., X_n) - ln n pour des variables exponentielles indépendantes.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles
• Nombres réels et suites numériques

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