CNC 2024 MP Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2024, filière MP, en 4 heures. Thème : Fonction gaussienne, variable à densité, moments et produit de convolution.

À savoir sur cette copie. Cette copie est une ressaisie du sujet par un enseignant, pas le document officiel : elle peut contenir des fautes de frappe. En cas de doute, c'est le sujet officiel qui fait foi. Elle sera remplacée dès que nous aurons une copie officielle.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : intégrales de x^n e^(-3x). Convergence, relation de récurrence par intégration par parties, valeur n!/3^(n+1), puis espérance et variance d'une variable à densité.
• Partie 1 : une variable aléatoire. Intégrales des x^n f_t(x) avec f_t(x) = exp(-t x^2/2), puis variable X_t de densité g_t(x) = t x f_t(x) sur ]0, +infini[ : fonction de répartition, espérance, variance, écart type, et probabilités de deux suites d'événements.
• Partie 2 : une intégrale impropre. Moments m_n de f_t, intégrale de e^(-(ax^2 + bx + c)), et calcul d'une intégrale comme somme de série par interversion.
• Partie 3 : produit de convolution et transformée. Espace E des fonctions dominées par f_t(lambda x), produit de convolution, commutativité, calcul de f_t * f_t, transformée intégrale de classe C^2 et transformée d'un produit de convolution.
• Partie 4 : convolutions itérées. Suite des convolées successives d'une densité, transformées, développement limité à l'ordre 2 en 0, additivité de la moyenne et de la variance, et limite d'une suite de transformées.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles

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