CNC 2024 MP Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2024, filière MP, en 4 heures. Thème : Noyaux itérés, nilpotents et endomorphismes cycliques.

À savoir sur cette copie. Cette copie est une ressaisie du sujet par un enseignant, pas le document officiel : elle peut contenir des fautes de frappe. En cas de doute, c'est le sujet officiel qui fait foi. Elle sera remplacée dès que nous aurons une copie officielle.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : diagonalisation d'une matrice d'ordre 3. Inverse d'une matrice de passage, vecteurs propres, écriture A = PDP^-1 et calcul de A^n.
• Partie 1 : noyaux itérés. Monotonie des suites Ker f^k et Im f^k, indice de stabilisation q, supplémentarité de Ker f^q et Im f^q dans E et décroissance des sauts de dimension.
• Partie 2 : nilpotents de rang n - 1. Inégalité dim Ker u^(r+s) <= dim Ker u^r + dim Ker u^s, indice de nilpotence n, base cyclique et similitude de deux nilpotentes de rang n - 1.
• Partie 3 : réduction d'un endomorphisme particulier. Lorsque (id, f, ..., f^(n-1)) est libre, décomposition en sous-espaces caractéristiques et matrice diagonale par blocs de type Jordan.
• Partie 4 : cycles. Endomorphismes cycliques, vecteurs propres liés aux racines n-ièmes de l'unité, matrice de Fourier et diagonalisation des matrices circulantes.
• Partie 5 : sous-espaces de matrices nilpotentes. Trigonalisation des nilpotentes, somme directe des symétriques et des triangulaires strictes, et dimension maximale n(n-1)/2 d'un sous-espace formé de nilpotentes.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Nombres complexes et trigonométrie

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