CNC 2026 MP Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2026, filière MP. Thème : L'endomorphisme M -> AM - MB de M_n(K).

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : réflexions d'un espace euclidien. Application phi_u(x) = 2<x|u>/<u|u> u - x : involution qui conserve le produit scalaire, nature géométrique, exemple matriciel dans R^3 et réciproque.
• Partie 1 : exemples. Matrice de Phi_A pour n = 2, lien entre diagonalisabilité de Phi_A et de A, puis spectre de Phi_A lorsque A est une matrice de projection.
• Partie 2 : spectre de Phi_A,B. Spectres de B et de sa transposée, nilpotence et polynôme caractéristique X^n, vecteurs propres XY^T, et spectre de Phi_A,B formé des différences lambda - mu.
• Partie 3 : diagonalisation. Phi_A,B est diagonalisable si et seulement si A et B le sont ; sens direct par la base des Xi Yj^T, réciproque sur R par un argument de spectre réel et de similitude.
• Partie 4 : multiplications à gauche et à droite. Codiagonalisation de deux endomorphismes diagonalisables qui commutent, appliquée à M -> AM et M -> MB.
• Partie 5 : adjoint de Phi_A,B. Produit scalaire Tr(M^T N), adjoint M -> A^T M - M B^T, matrices qui commutent avec toutes les autres, caractère autoadjoint, et cas où Phi_A,B divisé par racine de 2 est orthogonal.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

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