CNC 2023 MP Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2023, filière MP. Thème : Distance d'une matrice au groupe orthogonal.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : probabilité qu'une matrice soit diagonalisable. Diagonalisabilité d'une matrice triangulaire 2 x 2, lois de X + Y et de min(X, Y) pour deux variables géométriques indépendantes, et probabilité qu'une matrice aléatoire soit diagonalisable.
• Partie 1 : résultats préliminaires. Matrices symétriques positives, caractérisation par le signe des valeurs propres grâce au théorème spectral, réduction de tB B, et produit scalaire (A, B) -> Tr(tA B).
• Partie 2 : décomposition polaire. Toute matrice réelle s'écrit OS avec O orthogonale et S symétrique positive ; calcul sur un exemple d'ordre 3.
• Partie 3 : calcul de distance. O_n(R) est fermé et borné, la distance à O_n(R) est atteinte et vaut la distance de A au facteur orthogonal de sa décomposition polaire ; application numérique.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés

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