CNC 2023 MP Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2023, filière MP. Thème : Équations différentielles y'' + y = f en analyse.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : un problème d'extremum. Fonction F(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y : point critique unique, nature par la matrice hessienne, puis extremum global strict par changement de variables.
• Partie 1 : expression intégrale des solutions. Résolution de y'' + y = f par une solution particulière intégrale nulle ainsi que sa dérivée en x_0, et condition sur les intégrales de f(t) cos t et f(t) sin t pour que les solutions soient 2pi-périodiques.
• Partie 2 : intégrale de Dirichlet. Unique solution de limite nulle en +infini pour f(x) = 1/x, intégrale à paramètre h(x) de e^(-xt)/(1 + t^2) solution de la même équation, et calcul de l'intégrale de sin(t)/t.
• Partie 3 : somme d'une série de fonctions. Série normalement convergente des e^(-nx)/(1 + n^2), dont la somme u vérifie u'' + u = e^(-x)/(1 - e^(-x)), expression intégrale de u, puis intégrale de sin(t)/(e^t - 1) sur ]0, +infini[ égale à la somme des 1/(1 + n^2).

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Équations différentielles linéaires
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles

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