CNC 2025 MP Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2025, filière MP, en 4 heures. Thème : Intégrales à paramètre et intégrales de type Dirichlet.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : la transformée phi_f. Pour f continue bornée, définition de phi_f(x), intégrale de f(x, t) e^(-t), puis calcul par intégrations par parties de phi_g et phi_h pour cos(xt) et sin(xt), avec deux identités intégrales.
• Partie 1 : série géométrique dérivée et loi géométrique. Sommes des séries de n x^(n-1) et n^2 x^(n-1), séries entières S_j et leurs dérivées, application à l'espérance et à la variance d'une loi géométrique.
• Partie 2 : une équation différentielle. Intégrales à paramètre h_n(t), dérivation sous l'intégrale (h_n' = -h_(n+1)), limite en +infini et unique solution de limite nulle d'une équation différentielle linéaire.
• Partie 3 : autre expression d'une intégrale. Fonction theta définie par une intégrale à paramètre, de classe C^k, solution de theta'' + theta = 1/t et de limite nulle, d'où une seconde expression intégrale et la nature d'une série.
• Partie 4 : application. Calcul de l'intégrale de sin(x)/x et d'intégrales voisines I, J et K à partir des résultats précédents.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles
• Équations différentielles linéaires

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