CNC 2022 MP Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2022, filière MP. Thème : Série du binôme généralisé et série entière à coefficients intégraux.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : calcul d'intégrales. Racines du trinôme X^2 + 2 lambda X + 1, décomposition en éléments simples, développement de 1/(lambda + cos x) en série trigonométrique et calcul, par convergence uniforme, des intégrales de cos(nt)/(lambda + cos t).
• Partie 1 : résultats préliminaires. Inégalité sur une fonction de classe C^2 concave nulle en 0 et 1, convergence de l'intégrale et de la série de 1/(n ln^2 n), et formule du binôme généralisée (1 + x)^alpha obtenue par une équation différentielle et une série entière.
• Partie 2 : rayon et somme. Pour la suite b_n définie par une intégrale de coefficients binomiaux généralisés, le rayon de convergence vaut 1 et la somme s'obtient par interversion série intégrale.
• Partie 3 : comportement aux bornes. Suite de fonctions uniformément convergente, équivalent de |b_n| en 1/(n ln^2 n), convergence normale sur [-1, 1] et valeur de la somme aux bornes.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Nombres complexes et trigonométrie
• Équations différentielles linéaires
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles
• Dérivabilité et convexité

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