Prepa HelpMines-Ponts 2025 MPI Mathématiques 2 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2025, filière MPI, en 4 heures. Thème : Critère de Schur-Cohn : nombre de racines d'un polynôme dans ]-1, 1[ et matrice J(p).
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie A : propriétés du polynôme p0 et stabilité des racines. Polynôme réciproque, racines stables (alpha et 1/alpha racines), cas où toutes les racines sont stables et simples, étude de h = Xp' et absence de racine stable pour p'.
- Partie B : liberté d'une famille de polynômes. Polynômes f_j construits sur les racines, endomorphismes d'un espace de fractions rationnelles et noyau, liberté de la famille quand aucune racine n'est stable.
- Partie C : expression de la matrice J(p). Matrice de décalage S, base formée des (S^T)^i U, factorisation J(p) = VDV^T avec D diagonale des 1 - alpha_j^2 et non-inversibilité en présence d'une racine stable.
- Partie D : cas où J(p) est inversible, critère de Schur-Cohn. Dimension maximale d'un sous-espace où X^T M X est définie positive, invariance par congruence, égalité avec le nombre de valeurs propres strictement positives d'une matrice symétrique et preuve du critère.
- Partie E : condition nécessaire et suffisante d'inversibilité. Polynôme annulant le vecteur U en cas de non-inversibilité, d'où J(p) inversible si et seulement si p n'a pas de racine stable.
- Partie F : un cas particulier. Racines toutes stables et simples : inversibilité de J(h), perturbation p(rX) pour r proche de 1, dérivée de r -> J(p(rX)) et formule sigma(p) = n - 1 - pi(J(p')).
- Partie G : méthode générale. Factorisation par le PGCD de p et p0, décomposition en polynômes à racines stables et simples et formule générale du nombre de racines dans ]-1, 1[.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
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