Mines-Ponts 2024 MPI Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2024, filière MPI, en 4 heures. Thème : Phénomènes de seuil dans les graphes aléatoires : matrices d'adjacence et fonctions de seuil.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : quelques propriétés algébriques des matrices d'adjacence. Matrices d'adjacence semblables par permutation des indices, diagonalisabilité, rang, coefficients du polynôme caractéristique, cas des étoiles, formule pour deux graphes reliés par une arête et double étoile.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Partie II : une première fonction de seuil. Graphes aléatoires à arêtes indépendantes de probabilité p_n, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, loi binomiale du nombre d'arêtes et fonction de seuil 1/n^2 pour la présence d'une arête.
• Partie III : fonction de seuil de la copie d'un graphe. Nombre de copies d'un graphe fixé, espérance, second moment découpé selon le nombre de sommets communs, coefficients binomiaux et fonction de seuil n^(-omega_0), puis application aux étoiles.
  À revoir : Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

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