Mines-Ponts 2026 MPI Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2026, filière MPI, en 4 heures. Thème : Autour de O_n(R) et SL_n(R) : topologie, calcul différentiel et morphismes continus.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : quelques propriétés de O_n(R). Diagonalisabilité des rotations, description de SO_2(R), compacité et non-connexité par arcs de O_n(R), connexité par arcs de SO_n(R), sous-groupes intermédiaires, probabilités pour une matrice de Bernoulli, réflexions et sous-groupes compacts contenant O_n(R).
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Topologie des espaces vectoriels normés, Structures algébriques usuelles, Nombres complexes et trigonométrie
• Partie II : calcul différentiel sur O_n(R) et SL_n(R). Différentielle de M -> M^T M, espace tangent à O_n(R) en I_n égal aux matrices antisymétriques, gradient du déterminant égal à la comatrice, extremums de la norme euclidienne sur SL_n(R) et minimum atteint sur SO_n(R).
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés
• Partie III : morphismes continus de U dans GL_n(R). Sous-groupes bornés de R*, valeurs propres de module 1, morphisme x -> phi(e^(ix)), régularité par une primitive et forme exp(xM).
  À revoir : Structures algébriques usuelles, Topologie des espaces vectoriels normés, Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Partie IV : morphismes de (R, +) dans (GL_n(R), x). Matrices réelles semblables sur C, noyaux itérés d'un nilpotent, spectre inclus dans iZ, décomposition D + N avec N nulle, forme réduite par blocs de rotations et réciproque.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Structures algébriques usuelles

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Structures algébriques usuelles
• Nombres complexes et trigonométrie
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés

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