Mines-Ponts 2023 MPI Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2023, filière MPI, en 4 heures. Thème : Fonction de Wallis : intégrale de sin^x, développement en série entière et convexité logarithmique.

Lire le sujet 6 pages · sujet sans corrigé, reproduit sans retouche−+Télécharger le PDF (0,4 Mo)

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie 1 : calcul de sigma(1). Série sigma(x) = somme des x^k/k^2 : domaine et continuité, intégrales de (alpha t^2 + beta t)cos(nt), somme des cos(kt) et lemme de Riemann-Lebesgue, d'où sigma(1) = pi^2/6.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Techniques fondamentales de calcul en analyse, Nombres complexes et trigonométrie
• Partie 2 : équivalents. Fonction f(x) intégrale de sin(t)^x sur [0, pi/2] : domaine, relation (x+1)f(x) = (x+2)f(x+2), classe C^2, monotonie et convexité, équivalents en -1 et en +infini, tracé du graphe.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Dérivabilité et convexité, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Partie 3 : développement en série entière. Intégrales généralisées D_n des puissances de ln(sin t), calcul de f'(0) et f'(1), équivalent de D_n et développement de f en série entière sur ]-1, 1[.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Séries numériques et vectorielles
• Partie 4 : convergence de suite de fonctions. Développement de ln(a^2 cos^2 x + b^2 sin^2 x) en série de cosinus, intégrale de son carré, convergence simple d'une suite de fonctions et calcul de f''(0).
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Intégration sur un intervalle quelconque
• Partie 5 : convexité logarithmique. Fonctions ln-convexes, caractérisation de f comme unique fonction ln-convexe vérifiant la relation fonctionnelle et f(0) = pi/2, généralisation à un pas 2T et cas des fonctions définies sur R.
  À revoir : Dérivabilité et convexité, Nombres réels et suites numériques

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Nombres complexes et trigonométrie
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Dérivabilité et convexité
• Nombres réels et suites numériques

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.