Mines-Ponts 2023 MPI Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2023, filière MPI, en 3 heures. Thème : Théorème de stabilité de Liapounov : norme subordonnée, exponentielle de matrice et stabilité d'un équilibre.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie A : étude d'une norme sur L(E). Norme subordonnée à la norme euclidienne sur les endomorphismes d'un sous-espace de K^n : existence des bornes supérieures, axiomes de norme, sous-multiplicativité et majoration de la norme de u^k.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés
• Partie B : étude de la stabilité en 0 du système linéaire. Décomposition de C^n en somme des sous-espaces caractéristiques, projections associées, écriture de exp(ta) par blocs et majoration par un polynôme en |t| fois des exponentielles des parties réelles des valeurs propres. Lien entre convergence vers 0 des solutions de y' = u(y) et spectre, puis décroissance exponentielle si les valeurs propres sont de partie réelle strictement négative.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Topologie des espaces vectoriels normés
• Partie C : démonstration du théorème de Liapounov. Produit scalaire défini par l'intégrale sur R+ de <e^(ta)x | e^(ta)y>, différentielle de la forme quadratique associée, inégalité différentielle au voisinage de l'équilibre et majoration exponentielle des solutions du système non linéaire pour une condition initiale proche de 0.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Topologie des espaces vectoriels normés
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Intégration sur un intervalle quelconque

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