Prepa HelpMines-Ponts 2024 MPI Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2024, filière MPI, en 3 heures. Thème : Généralisation d'une intégrale de Dirichlet et application au calcul de E(|S_n|).
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I : calcul d'une intégrale. Intégrales à paramètre de t^(x-1)/(1 + t e^(i theta)), dérivation sous le signe intégral, fonction constante et convergence dominée, d'où l'intégrale de t^(x-1)/(1 + t) sur ]0, +infini[ égale à pi/sin(pi x).
- Partie II : une expression (utile) de la fonction sinus. Écriture de cette intégrale comme somme de séries alternées, développement de pi/sin(pi x) en somme de fractions rationnelles et identité sur la somme des 2(-1)^n y sin(y)/(y^2 - n^2 pi^2).
- Partie III : calcul d'une intégrale de Dirichlet généralisée. Convergence de l'intégrale de (1 - cos(t)^(2p+1))/t^2, découpage en intervalles de longueur pi, linéarisation de cos(t)^(2p) par le binôme et valeur exprimée avec (2p+1)! et (p!)^2.
- Partie IV : calcul de E(|S_n|). Marche aléatoire à pas plus ou moins 1 : espérance et variance de S_n, E(cos(tS_n)) = cos(t)^n, égalité de E|S_2n| et E|S_(2n-1)| et formule intégrale donnant leur valeur exacte.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Nombres complexes et trigonométrie
- Séries numériques et vectorielles
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
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