Mines-Ponts 2025 MPI Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2025, filière MPI, en 3 heures. Thème : Inégalités de Khintchine : Hölder, concentration des sommes de Rademacher et équivalence des normes.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Inégalité de Hölder. Inégalité xy <= x^p/p + y^q/q, inégalité de Hölder pour l'espérance de variables positives sur un espace probabilisé fini et cas p = q = 2.
  À revoir : Dérivabilité et convexité
• Une inégalité de déviation. Variables de Rademacher indépendantes, majoration ch(t) <= exp(t^2/2), majoration de l'espérance de exp(t somme c_i X_i) et inégalité de concentration par l'inégalité de Markov.
  À revoir : Dérivabilité et convexité
• Inégalités de Khintchine. E(X^p) écrite comme intégrale de t^(p-1) P(X > t), moment d'ordre 4, puis encadrement de la norme p de la somme des c_i X_i par sa norme 2, avec interpolation par Hölder pour 1 <= p < 2.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque
• Une première conséquence. Produit scalaire E(XY), isométrie de l'espace des suites presque nulles vers les combinaisons de variables de Rademacher et équivalence des normes p sur l'image.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés
• Une deuxième conséquence. Pour n = 2^k, construction d'un sous-espace de dimension k de R^n sur lequel les normes 1 et 2 sont comparables à des constantes près.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Dérivabilité et convexité
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Topologie des espaces vectoriels normés

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