Prepa HelpMines-Ponts 2026 MPI Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2026, filière MPI, en 3 heures. Thème : Équation d'Euler-Lagrange : droite, cycloïde et caténoïde.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I : lemme fondamental du calcul variationnel. Fonction e^(-1/x) de classe C^infini, fonctions plateau positives sur ]c, d[ et nulles ailleurs, puis nullité d'une fonction continue orthogonale à toutes les fonctions test.
- Partie II : équation d'Euler-Lagrange. Fonctionnelle intégrale de f(x, y, y'), perturbations admissibles par Bolzano-Weierstrass, dérivation sous l'intégrale, intégration par parties, équation d'Euler-Lagrange et identité de Beltrami.
- Partie III : le chemin le plus court est la ligne droite. Longueur du graphe d'une fonction et identité de Beltrami pour montrer qu'un extremum est affine.
- Partie IV : le chemin le plus rapide est la cycloïde. Brachistochrone : relation y(1 + y'^2) = C, fonction arccotan et sa dérivée, paramétrage de la solution par une cycloïde.
- Partie V : une application à une structure optimale, la caténoïde. Film de savon entre deux cercles, relation 1 + y'^2 = c^2 y^2, fonction argch et sa dérivée, expression explicite de la solution par un cosinus hyperbolique.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Dérivabilité et convexité
- Limites et continuité
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Topologie des espaces vectoriels normés
- Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
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