Prepa HelpCCINP 2023 MPI Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2023, filière MPI, en 4 heures. Thème : Norme subordonnée, extremum, fonction Gamma et formule des compléments.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice I : norme subordonnée sur M_n(R). Norme N sur M_n(R) donnée par le maximum sur les lignes des sommes des valeurs absolues des coefficients, norme subordonnée à la norme infinie sur M_{n,1}(R), égalité des deux normes et calcul sur une matrice d'ordre 3.
- Exercice II : extremum d'une fonction de deux variables. Unique solution d'une équation, unique point critique et nature de l'extremum à l'aide de la matrice hessienne.
- Partie I : calcul d'une intégrale à l'aide d'une série. Intégrales de x^(alpha-1)/(1+x) sur ]0,1] et sur [1,+infini[ : intégrabilité, écriture en somme de série par convergence dominée, puis valeur pi/sin(alpha pi) de leur somme, l'intégrale sur ]0,+infini[, à l'aide d'un développement de cos(alpha x) admis.
- Partie II : lien avec la fonction Gamma. Définition de Gamma et étude d'une fonction définie par une intégrale à paramètre : continuité, classe C^1, dérivée et limites en +infini.
- Partie III : vers la formule des compléments. Équation différentielle vérifiée par l'intégrale à paramètre, solution particulière, formule des compléments Gamma(alpha)Gamma(1-alpha) = pi/sin(alpha pi) et valeur de l'intégrale de Gauss.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Topologie des espaces vectoriels normés
- Limites et continuité
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Séries numériques et vectorielles
- Équations différentielles linéaires
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