Équations différentielles linéaires du second ordre en prépa : forme canonique, régimes, stabilité

Q: Quelle est la forme canonique d'une équation du second ordre ?

C'est l'écriture y'' + (ω_0/Q) y' + ω_0^2 y = ω_0^2 y_∞, obtenue en divisant par le coefficient de y''. Elle donne sans calcul la pulsation propre ω_0, le facteur de qualité Q et, pour un second membre constant, la valeur finale y_∞. Le second membre vaut ω_0^2y_∞, et non y_∞.

Q: Quels sont les trois régimes d'un système du second ordre ?

Tout dépend de la position de Q par rapport à 1/2. Pour Q > 1/2, le régime est pseudo-périodique : des oscillations amorties. Pour Q = 1/2, il est critique. Pour Q < 1/2, il est apériodique : deux exponentielles réelles, sans oscillation. Le régime dépend de Q seul, jamais des conditions initiales.

Q: Comment dire si un système du second ordre est stable ?

On regarde les signes des coefficients de l'équation homogène a_2y'' + a_1y' + a_0y = 0. S'ils sont tous les trois de même signe, toutes les solutions tendent vers 0. Si a_1 ou a_0 est de signe opposé à celui de a_2, les solutions ne sont pas bornées en général. Un discriminant négatif dit seulement que le système oscille, pas qu'il revient à l'équilibre.

Q: Le régime critique est-il le plus rapide ?

Pas tel quel. À vitesse initiale nulle et à ω_0 fixé, c'est le retour le plus rapide sans dépassement. Avec une tolérance de 5 %, le temps de réponse vaut 4,7/ω_0 au critique et 2,9/ω_0 pour un facteur d'amortissement de 0,7. Le minimum, 2,86/ω_0, se trouve juste au-dessus de 0,690.

Q: Que valent la pseudo-pulsation et la pseudo-période ?

Pour Q > 1/2, la pseudo-pulsation vaut ω_0√(1 - 1/(4Q^2)), et la pseudo-période est 2π divisé par cette pulsation. L'écart à ω_0 vaut 0,5 % à Q = 5 et 13 % à Q = 1 : on ne confond les deux qu'après avoir chiffré cet écart.

Q: Quel pas choisir pour la méthode d'Euler au second ordre ?

On pose v = y' pour obtenir deux équations du premier ordre. Pour Q > 1/2, la suite reste bornée si Δ t < 1/(Qω_0) ; sans amortissement, elle diverge pour tout pas. Ce critère ne dit rien de la précision : on contrôle l'énergie, puis on divise le pas par deux.

Reconnaître et résoudre l'équation du second ordre à coefficients constants : forme canonique, pulsation propre, facteur de qualité, trois régimes, conditions initiales et odeint, en mécanique, en électricité et en SII.

19méthodes
40exercices corrigés
5problèmes
22pièges
73figures

Les nombres sont ceux du chapitre complet ; chaque filière voit la partie qui correspond à son programme.

Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants décrit tout système à deux réserves d'énergie : un circuit RLC, une masse sur un ressort, un moteur avec sa bobine, un système asservi. Sous forme canonique, elle donne sans calcul la pulsation propre et le facteur de qualité, donc le régime. Ce chapitre apprend à dire si le système est stable avant de résoudre, à fixer deux constantes sur la solution complète, à lire une courbe et à passer au calcul numérique, avec les notations de la physique, de la chimie et des SII, pour les filières scientifiques au Maroc et en France.

Ce que tu sauras faire

Une tension qui oscille en s'amortissant, une masse sur un ressort, un moteur qui prend sa vitesse, un système asservi qui dépasse sa consigne : ces évolutions obéissent à la même équation. Quand on la reconnaît, on sait dire sans calcul si le système revient à l'équilibre, s'il oscille et combien de temps cela dure. Le chapitre sur le premier ordre a posé la méthode ; celui-ci la prolonge à deux dérivées, en physique, en sciences industrielles et en chimie.

À la fin de ce chapitre, tu sais :

mettre une équation du second ordre sous forme canonique et y lire la pulsation propre, le facteur de qualité et la valeur finale ;
passer d'une écriture à l'autre : maths, physique, SII ;
dire si un système est stable par les signes des coefficients, avant tout calcul ;
résoudre par l'équation caractéristique dans les trois régimes, et écrire directement les cas sans amortissement ;
trouver les deux conditions initiales et fixer les constantes sur la solution complète ;
traiter un second membre constant ou exponentiel ;
lire une courbe, identifier un second ordre et juger un amortissement ;
passer à deux équations du premier ordre, appliquer la méthode d'Euler et choisir le pas.

L’essentiel du chapitre Extrait gratuit

Un extrait de la fiche « L'essentiel » du chapitre. Les démonstrations sont dans le cours détaillé.

À retenir Notations

$y$ : inconnue ; $y_0$ , $\dot y_0$ : valeur et dérivée initiales ; $y_\infty$ : valeur finale ; $B_1$ , $B_2$ : constantes d'intégration.
$\omega_0$ : pulsation propre ; $Q$ : facteur de qualité ; $\xi_{\text a}$ : facteur d'amortissement.
$r_1$ , $r_2$ : racines ; $\Delta_r$ : discriminant ; $\omega_{\text p}$ , $T_{\text p}$ : pseudo-pulsation, pseudo-période ; $\tau_{\text{env}}$ : temps de l'enveloppe ; $\delta_{\log}$ : décrément sur une pseudo-période.
$\mathcal E$ : force électromotrice ; $R_{\text{él}}$ : résistance électrique ; $k_{\text r}$ : raideur ; $\alpha_{\text f}$ : coefficient de frottement fluide.
SII : sortie $y$ , entrée $y_{\text e}$ . Les SII écrivent $s$ , $e$ , $K$ , $\omega_n$ pour $y$ , $y_{\text e}$ , $K_{\text s}$ , $\omega_0$ .
$\lambda$ a deux sens selon les sujets : sans dimension, ou en $\text{s}^{-1}$ . On regarde devant quoi il se trouve.

À retenir Forme canonique, trois écritures

Discipline	Écriture
maths	$y'' + ay' + by = f(x)$
physique	$\ddot y + \dfrac{\omega_0}{Q}\dot y + \omega_0^2y = \omega_0^2y_\infty$
SII	$\dfrac{1}{\omega_0^2}\ddot y + \dfrac{2\xi_{\text a}}{\omega_0}\dot y + y = K_{\text s}y_{\text e}$

$Q = 1/(2\xi_{\text a})$ . $\omega_0$ se lit sur le terme en $y$ , $Q$ sur le terme en $\dot y$ , $y_\infty$ sur un second membre constant. Le second membre vaut $\omega_0^2y_\infty$ , pas $y_\infty$ .

À retenir Stabilité

Pour $a_2\ddot y + a_1\dot y + a_0y = 0$ : $a_1$ et $a_0$ de même signe que $a_2$ , toutes les solutions tendent vers $0$ . $a_1 = 0$ et $a_0$ de même signe que $a_2$ : bornées, oscillation sans fin. Un coefficient de signe opposé : solutions non bornées, sauf conditions initiales particulières. Le signe de $\Delta_r$ dit si le système oscille, pas s'il revient.

À retenir Sans amortissement

$\ddot y + \omega_0^2y = 0$ : $y = B_1\cos\omega_0t + B_2\sin\omega_0t$ .
$\ddot y - y/\tau^2 = 0$ : $y = B_1\mathrm e^{t/\tau} + B_2\mathrm e^{-t/\tau}$ . $\tau$ est un temps, pas l'inverse d'une pulsation.

On les écrit directement, sans équation caractéristique.

À retenir Les trois régimes

$P(r) = r^2 + \dfrac{\omega_0}{Q}r + \omega_0^2$ , seuil $Q = \dfrac12$ , soit $\xi_{\text a} = 1$ .

$Q$	Solution de l'équation homogène
$Q > \frac12$	$\mathrm e^{-t/\tau_{\text{env}}}(B_1\cos\omega_{\text p}t + B_2\sin\omega_{\text p}t)$
$Q = \frac12$	$(B_1 + B_2t)\,\mathrm e^{-\omega_0t}$
$Q < \frac12$	$B_1\mathrm e^{r_1t} + B_2\mathrm e^{r_2t}$ , racines réelles négatives

$\tau_{\text{env}} = 2Q/\omega_0$ , $\omega_{\text p} = \omega_0\sqrt{1 - 1/(4Q^2)}$ , $T_{\text p} = 2\pi/\omega_{\text p}$ . Le régime dépend de $Q$ , jamais des conditions initiales.

Une méthode du chapitre Extrait gratuit

Méthode Résoudre l'équation homogène : caractéristique, signe de

\Delta_r

, forme à écrire

Quand l’utiliser

L'équation est linéaire, à coefficients constants, et le terme en $\dot y$ est présent.

Rappel de cours

$P(r) = r^2 + \dfrac{\omega_0}{Q}r + \omega_0^2$ , $\Delta_r = \omega_0^2(1/Q^2 - 4)$ , trois formes de solution (cours, section 6).

Démarche

Écrire l'équation caractéristique.
Comparer $Q$ à $\frac12$ , ou calculer le signe de $\Delta_r$ .
Nommer le régime.
Calculer les racines.
Écrire la forme correspondante, avec deux constantes.
Dire les temps : $T_{\text p}$ , $\tau_{\text{env}}$ , ou $-1/r_1$ et $-1/r_2$ .

Rédaction type

« L'équation caractéristique est $r^2 + 2r + 16 = 0$ , de discriminant négatif. Le régime est pseudo-périodique, de racines $-1 \pm 3{,}87\,\mathrm j$ . La solution s'écrit $x = \mathrm e^{-t}(B_1\cos(3{,}87\,t) + B_2\sin(3{,}87\,t))$ , où $t$ est en secondes. »

Exemple traité

(Physique) Une masse $m = 1{,}0$ kg, un ressort de raideur $k_{\text r} = 16\ \text{N}\cdot\text{m}^{-1}$ , un frottement $\alpha_{\text f} = 2{,}0\ \text{kg}\cdot\text{s}^{-1}$ . On a $\ddot x + 2\dot x + 16x = 0$ , soit $\omega_0 = 4{,}0\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ et $\omega_0/Q = 2{,}0\ \text{s}^{-1}$ , donc $Q = 2{,}0$ . Les racines sont $-1 \pm \mathrm j\sqrt{15}$ : $\tau_{\text{env}} = 1{,}0$ s, $\omega_{\text p} = 3{,}87\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ , $T_{\text p} = 1{,}6$ s. La masse fait environ deux oscillations visibles, ce que confirme $Q = 2$ .

Erreurs fréquentes

Écrire $r^2 + \omega_0^2r$ au lieu de $r^2 + \omega_0^2$ .
Prendre $Q = 1$ pour seuil.
Écrire le régime apériodique avec un cosinus, ou oublier le sinus du régime pseudo-périodique.
Écrire une seule constante.

Pour s’entraîner

Exercices 4, 6, 13, 17, 28, 31 et 33.

Un exercice corrigé Extrait gratuit

Exercice Un RLC, trois résistances (physique) ★☆☆

Valeurs construites pour l'exercice. Un circuit série comprend une bobine $L = 11{,}30$ mH, un condensateur $C = 0{,}985\ \mu$ F et une résistance totale $R_{\text{él}}$ . On relève $u_C$ pour $R_{\text{él}} = 14$ , $215$ et $474\ \Omega$ .

Circuit série : source, résistance, bobine, condensateur.

Établir l'équation de $u_C$ et la mettre sous forme canonique. Exprimer $\omega_0$ et $Q$ .
Calculer $\omega_0$ et la résistance critique $R_{\text c}$ .
Calculer $Q$ pour chaque résistance et donner le régime. Que penser de $215\ \Omega$ ?
Pour $474\ \Omega$ , calculer les deux racines et dire laquelle fixe la durée.

Indications

Méthode 1 pour la forme canonique, méthode 6 pour le régime. En série, $R_{\text{él}}$ est au dénominateur de $Q$ . Compare l'écart de $215\ \Omega$ à $R_{\text c}$ à la tolérance des composants.

Correction détaillée

1. La loi des mailles donne $L\dot i + R_{\text{él}}i + u_C = \mathcal E$ , avec $i = C\dot u_C$ . En divisant par $LC$ :

\ddot u_C + \frac{R_{\text{él}}}{L}\dot u_C + \frac{u_C}{LC} = \frac{\mathcal E}{LC},\qquad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad Q = \frac{1}{R_{\text{él}}}\sqrt{\frac LC}.

2. $\omega_0 = 9{,}48\times10^3\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ . Le seuil $Q = \frac12$ donne $R_{\text c} = 2\sqrt{L/C} = 214\ \Omega$ .

$R_{\text{él}}$ ( $\Omega$ )	$Q$	régime
$14$	$7{,}65$	pseudo-périodique
$215$	$0{,}498$	apériodique, à la limite du critique
$474$	$0{,}226$	apériodique

Pour $215\ \Omega$ , l'écart à $R_{\text c}$ est de $0{,}4\ \%$ , bien plus petit que la tolérance d'un composant. Le calcul dit « apériodique », mais le relevé ne distingue pas ce cas du critique. Le critique exact est un cas limite : on ne le réalise qu'à l'incertitude près.

4. Les racines sont

r = -\dfrac{R_{\text{él}}}{2L} \pm \sqrt{\dfrac{R_{\text{él}}^2}{4L^2} - \omega_0^2},

soit $-2{,}3\times10^3$ et $-3{,}97\times10^4\ \text{s}^{-1}$ . Le mode rapide disparaît en quelques dizaines de microsecondes. C'est la racine lente qui fixe la durée, avec un temps caractéristique de $0{,}44$ ms.

Contrôle : $\sqrt{L/C}$ est en ohms, donc $Q$ est sans dimension, et $Q$ baisse quand $R_{\text{él}}$ monte.

Méthodes à retenir

Méthodes 1 et 6 : $Q$ se compare à $\frac12$ . En régime apériodique, la durée se lit sur la racine la plus proche de zéro.

Dans le chapitre complet

Le cours détaillé, toute la fiche « L'essentiel », 19 méthodes, 22 pièges corrigés, la carte mentale, 40 exercices corrigés, 5 problèmes de concours, les fiches à mémoriser et l'assistant qui répond à tes questions. Les trois premiers chapitres de chaque matière sont offerts avec un compte d’essai gratuit.

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Plan du cours

1. Pourquoi deux dérivées
2. Reconnaître, et lire trois écritures
3. La forme canonique, lue directement
4. La stabilité, avant tout calcul
5. Sans amortissement : écrire directement
6. L'équation caractéristique et les trois régimes
- 6.1 D'où elle vient
- 6.2 Le signe du discriminant
- 6.3 Les racines complexes, le strict nécessaire
- 6.4 Régime pseudo-périodique, $Q > \dfrac12$
- 6.5 Régime critique, $Q = \dfrac12$
- 6.6 Régime apériodique, $Q < \dfrac12$
- 6.7 Deux écritures de l'oscillation
- 6.8 Les trois régimes d'un coup d'œil
7. Deux conditions, sur la solution complète
8. La réponse à un échelon
9. Second membre exponentiel, réel ou complexe
10. Durée et lecture d'une courbe
11. Quel amortissement choisir
- 11.1 Le critique n'est pas le plus rapide
- 11.2 Un escalier
- 11.3 Une vitesse initiale change tout
12. En sciences industrielles : identifier
13. La même équation partout
- 13.1 Mécanique et électricité
- 13.2 Le moteur, avec sa bobine
- 13.3 En chimie : un second ordre qui n'oscille jamais
- 13.4 Le bilan d'énergie
14. Deux équations du premier ordre, méthode d'Euler
- 14.1 Le passage à deux équations
- 14.2 Quel pas choisir
- 14.3 Pourquoi l'énergie monte
15. Euler du second ordre en Python
16. odeint sur un système
16. L'oscillateur mécanique, Scilab

Les méthodes du chapitre

Chaque méthode est une fiche : quand l'utiliser, le rappel de cours, les étapes, la rédaction attendue sur la copie, un exemple traité, les erreurs à éviter.

Reconnaître l'équation, la mettre sous forme canonique, lire $\omega_0$ , $Q$ , $y_\infty$
Passer d'une écriture à l'autre : maths, physique, SII, $\xi_{\text a}$ , $\lambda$
Dire si le système est stable, par les signes, avant tout calcul
Prévoir sans résoudre : $y(0^+)$ , $\dot y(0^+)$ , $y_\infty$ , régime, allure
Trouver les deux conditions initiales, $\dot y(0^+)$ selon la variable
Résoudre l'équation homogène : caractéristique, signe de $\Delta_r$ , forme à écrire
Écrire directement $\ddot y = \mp\dots$ , choisir exp ou ch, sh
Résoudre l'équation complète : solution particulière, puis constantes sur la somme
Retirer un second membre constant en changeant d'origine
Second membre exponentiel, réel ou complexe : calculer $P(r_{\text S})$
Passer de $B_1\cos + B_2\sin$ à $y_{\text m}\cos(\cdot + \varphi)$ , avec le signe de $\cos\varphi$
Établir l'équation : forces, position d'équilibre, écart ; circuit à deux mailles
Lire une courbe pseudo-périodique : $T_{\text p}$ , $\delta_{\log}$ sur les écarts, $Q$
Identifier un second ordre en SII : allure, $K_{\text s}$ , $\xi_{\text a}$ , $\omega_0$ , contrôle par $D_2 = D_1^2$
Choisir un amortissement et juger une durée
Passer à deux équations du premier ordre, appliquer Euler
Choisir le pas d'Euler au second ordre, et valider
Écrire F(Y, t) et lancer odeint
Traiter un oscillateur mécanique, simuler en pseudo-code

Les exercices corrigés

Chaque exercice a ses indications, sa correction rédigée et ce qu'il faut en retenir.

Application directe (15)

Classer huit équations (SII, physique, chimie)
Lire une forme canonique (physique)
Une équation, cinq notations (SII, physique)
Tableau de stabilité (physique)
Prévoir une réponse sans la calculer (SII)
Un RLC, trois résistances (physique)
Une masse, deux conditions (physique)
Petites oscillations d'un pendule (physique)
Pendule retourné (physique)
Exponentielle ou ch et sh (physique)
Deux échelons sur un RLC (physique)
Une équation de concentration à lire (chimie)
L'équation de l'intermédiaire (chimie)
Euler à la main (physique)
Une masse et un ressort en pseudo-code (physique)

Entraînement (19)

Un ressort vertical, deux origines (physique)
Mettre en équation un vibromètre (physique)
Un sismographe à barre, en régime critique (physique)
$R$ en série avec $L\parallel C$ (physique)
Couper une bobine (physique)
Une source qui s'éteint, puis une source sinusoïdale (physique)
Lire une pseudo-période (physique)
Décrément sur plusieurs périodes (physique)
Une suspension chargée (physique)
Identifier deux réponses (SII)
Deux dépassements (SII)
Le moteur avec sa bobine (SII)
Régler une boucle (SII)
Deux cuves en série (chimie)
Le produit d'une réaction successive (chimie)
Euler d'ordre 2, trois pas (physique, Python)
odeint contre Euler sur un RLC (physique, Python)
A vers B vers C avec odeint (chimie, Python)
Impact du pas sur l'oscillateur (physique)

Approfondissement (6)

Deux condensateurs n'oscillent jamais (physique)
Une passerelle qui s'emballe (physique)
Très amorti, puis peu amorti (SII)
Pourquoi l'énergie monte (physique, Python)
Une réaction raide (chimie, Python)
Une excitation de forme quelconque (physique, Python)

Les problèmes de concours

Des extraits de sujets réels, corrigés en entier, avec la durée conseillée et les méthodes mobilisées.

La suspension et le trottoir : deux morceaux, un raccord, un dépassement
CNC 2000, filières MP et TSI, Physique I (questions 2.1.1 à 2.2.9)
Le pendule de torsion : tout lire sur un relevé
CNC 2014, filière TSI, Physique I (questions 1.3 à 1.5)
Le mélangeur de peinture : régler une boucle sur un cahier des charges
CNC 2019, filière MP, Sciences industrielles (questions 31 à 33)
Le sismomètre SEIS sur Mars : un pendule retourné qui tient debout
Mines-Ponts 2023, filière MP, Sciences industrielles de l'ingénieur (questions Q1, Q5 à Q8)
La plateforme en mer : de l'analytique au calcul numérique
CCINP 2019, filière PC, Modélisation de systèmes physiques ou chimiques (questions Q2 à Q4, Q6, Q8, Q9, Q13 à Q15, Q21 à Q24, Q36 à Q38)

Sujets de concours sur ce chapitre

Les 12 sujets les plus récents sur 70, à télécharger gratuitement en PDF, sans corrigé. Tous les sujets de concours.

CCINP 2026 MP, Physique
Partie I : le ressort, couteau-suisse de la physique
CCINP 2026 PSI, Physique-chimie
Partie III : circuit RLC et hacheurs parallèles
Centrale-Supélec 2026 MP, Physique-chimie 1
Partie A : spectroscopie rovibrationnelle
Centrale-Supélec 2026 PSI, Physique-chimie 2
Partie B : contrôle de température d'un circuit par ailettes de refroidissement
CNC 2026 MP, Physique I
Partie 2.1.2 : diffraction d'une particule quantique
CNC 2026 MP, Physique II
Partie 2.2 : méthode flash
CNC 2026 MP, Sciences industrielles
I. Déplacement vertical (axe Z)
CNC 2026 PSI, Physique II
Partie 2 : mesure d'une conductivité thermique
CNC 2025 MP, Sciences industrielles
F. Commande asservie de la montée de la charge
CCINP 2024 MP, Physique-chimie
Partie III : la marche du berger landais sur échasses
Centrale-Supélec 2024 MP, Physique-chimie 2
Partie A, I : le modèle de J. J. Thomson
Centrale-Supélec 2024 PSI, Sciences industrielles de l'ingénieur
Partie I : modélisation linéaire du suivi de la trajectoire

Questions fréquentes

Quelle est la forme canonique d'une équation du second ordre ?

C'est l'écriture $\ddot y + (\omega_0/Q)\,\dot y + \omega_0^2\,y = \omega_0^2\,y_\infty$ , obtenue en divisant par le coefficient de $\ddot y$ . Elle donne sans calcul la pulsation propre $\omega_0$ , le facteur de qualité $Q$ et, pour un second membre constant, la valeur finale $y_\infty$ . Le second membre vaut $\omega_0^2y_\infty$ , et non $y_\infty$ .

Quels sont les trois régimes d'un système du second ordre ?

Tout dépend de la position de $Q$ par rapport à $1/2$ . Pour $Q > 1/2$ , le régime est pseudo-périodique : des oscillations amorties. Pour $Q = 1/2$ , il est critique. Pour $Q < 1/2$ , il est apériodique : deux exponentielles réelles, sans oscillation. Le régime dépend de $Q$ seul, jamais des conditions initiales.

Comment dire si un système du second ordre est stable ?

On regarde les signes des coefficients de l'équation homogène $a_2\ddot y + a_1\dot y + a_0y = 0$ . S'ils sont tous les trois de même signe, toutes les solutions tendent vers $0$ . Si $a_1$ ou $a_0$ est de signe opposé à celui de $a_2$ , les solutions ne sont pas bornées en général. Un discriminant négatif dit seulement que le système oscille, pas qu'il revient à l'équilibre.

Le régime critique est-il le plus rapide ?

Pas tel quel. À vitesse initiale nulle et à $\omega_0$ fixé, c'est le retour le plus rapide sans dépassement. Avec une tolérance de 5 %, le temps de réponse vaut $4{,}7/\omega_0$ au critique et $2{,}9/\omega_0$ pour un facteur d'amortissement de $0{,}7$ . Le minimum, $2{,}86/\omega_0$ , se trouve juste au-dessus de $0{,}690$ .

Que valent la pseudo-pulsation et la pseudo-période ?

Pour $Q > 1/2$ , la pseudo-pulsation vaut $\omega_0\sqrt{1 - 1/(4Q^2)}$ , et la pseudo-période est $2\pi$ divisé par cette pulsation. L'écart à $\omega_0$ vaut $0{,}5\ \%$ à $Q = 5$ et $13\ \%$ à $Q = 1$ : on ne confond les deux qu'après avoir chiffré cet écart.

Un système apériodique peut-il dépasser sa valeur finale ?

Oui, s'il part avec une vitesse. À vitesse initiale nulle, il ne dépasse jamais. Si sa dérivée initiale, dirigée vers $y_\infty$ , dépasse le produit de la racine rapide, en valeur absolue, par l'écart initial à $y_\infty$ , il passe au-delà de sa valeur finale, puis il revient lentement.

Quel pas choisir pour la méthode d'Euler au second ordre ?

On pose $v = \dot y$ pour obtenir deux équations du premier ordre. Pour $Q > 1/2$ , la suite reste bornée si $\Delta t < 1/(Q\omega_0)$ ; sans amortissement, elle diverge pour tout pas. Ce critère ne dit rien de la précision : on contrôle l'énergie, puis on divise le pas par deux.

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