CNC 2024 TSI Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2024, filière TSI, en 4 heures. Thème : Endomorphismes nilpotents et cycles.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice. Diagonalisation d'une matrice 2x2 par des vecteurs propres donnés et calcul de A^n.
• Problème, partie 1 : exemples de matrices nilpotentes. Une matrice 3x3 nilpotente et sa symétrisée, puis description des matrices nilpotentes de taille 2.
• Problème, partie 2 : noyaux itérés. Suites des noyaux et images des itérés, stationnarité et supplémentarité du noyau et de l'image au rang de stabilisation.
• Problème, partie 3 : nilpotents de rang n-1. Indice de nilpotence égal à n, base cyclique et similitude de deux tels endomorphismes.
• Problème, partie 4 : cycles. Endomorphismes cycliques, matrice dans une base cyclique, vecteurs propres construits avec les racines de l'unité et diagonalisation des matrices circulantes.
• Problème, partie 5 : dimension maximale. Un sous-espace de matrices nilpotentes est de dimension au plus n(n-1)/2, via la décomposition en matrices symétriques et triangulaires strictes.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Compléments d'algèbre linéaire
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

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