CNC 2021 TSI Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2021, filière TSI, en 4 heures. Thème : Puissances et commutant d'une matrice, racines carrées de matrices.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice. Diagonalisation d'une matrice 3x3 à l'aide d'une matrice de passage donnée, calcul de A^n et application à une suite récurrente vectorielle et à ses limites.
• Problème 1, partie 1 : calcul des puissances de M_a. Polynôme caractéristique, valeurs propres et diagonalisabilité d'une famille de matrices 3x3 dépendant d'un paramètre, puis inverse.
• Problème 1, partie 2 : commutant de M_a. Le commutant est un sous-espace vectoriel ; on le détermine par réduction à une matrice diagonale et on calcule sa dimension selon a.
• Problème 2, partie 1 : A à n valeurs propres distinctes. Racines carrées d'une matrice diagonalisable à valeurs propres distinctes, nombre de solutions, exemple en dimension 3.
• Problème 2, partie 2 : A nulle. Matrices R telles que R² = 0 : inclusion de l'image dans le noyau, rang au plus n/2 et forme réduite dans une base adaptée.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Compléments d'algèbre linéaire
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

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