CNC 2021 TSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2021, filière TSI, en 4 heures. Thème : Intégrales impropres, variables aléatoires à densité et constante d'Euler.

À savoir sur cette copie. Sur cette copie, l'énoncé de la question 1 de la partie 2 du problème 2 est très pâle ; la formule à démontrer reste lisible.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice. Convergence des intégrales de x^n e^(-x) sur [0, +∞[ et calcul par récurrence : I_n = n!.
• Problème 1, partie 1 : une variable aléatoire à densité. Calcul de l'intégrale de x² e^(-x²), fonction de répartition 1 - e^(-x²) et densité associée, espérance, loi de X² (exponentielle) et variance.
• Problème 1, partie 2 : calcul de deux intégrales. Deux intégrales à paramètre en cos(2xt) e^(-t²) et 2t sin(2xt) e^(-t²) : dérivabilité par encadrement, puis expressions explicites.
• Problème 2, partie 1 : développement asymptotique de H_n. Série harmonique : convergence de H_n - ln n vers γ, encadrement de γ et développement de H_n jusqu'à l'ordre 1/n².
• Problème 2, partie 2 : calcul d'une intégrale. Par une suite d'intégrales sur [0, n], on obtient la valeur de l'intégrale de -ln(u) e^(-u) en fonction de γ.
• Problème 2, partie 3 : loi de Gumbel. Densité de Gumbel, espérance, puis convergence en loi du maximum de n variables exponentielles recentré par ln n.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Nombres réels et suites numériques
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles

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