CCINP 2021 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2021, filière MP, en 4 heures. Thème : Décomposition de Dunford.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : orthogonal des matrices diagonales. Calcul de l'orthogonal du sous-espace des matrices diagonales pour le produit scalaire canonique de M_n(R).
• Partie I : quelques exemples. Décomposition de Dunford d'une matrice diagonalisable ou nilpotente, matrice sans décomposition sur R, calcul sur un exemple et exponentielle de matrice.
• Partie II : un exemple par deux méthodes. Sur une matrice d'ordre 3, sous-espaces caractéristiques et réduite dans une base adaptée, puis éléments simples, relation de Bézout et projecteurs, qui expriment D et N comme polynômes en A.
• Partie III : une preuve de l'unicité de la décomposition. Codiagonalisation de deux endomorphismes qui commutent, différence de matrices diagonalisables ou nilpotentes qui commutent et unicité du couple (D, N).
• Partie IV : non continuité de l'application A -> D. Densité des matrices diagonalisables dans M_n(C) et non-continuité de l'application qui associe à A sa partie diagonalisable.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.