CCINP 2021 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2021, filière MP, en 4 heures. Thème : Arithmétique et fonction zêta de Riemann, produit eulérien.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice I : intégrale d'une fonction logarithmique. Intégrabilité de ln(t)/(t^2 - 1) sur ]0,1[ et calcul de son intégrale, égale à pi^2/8, à partir des intégrales de t^(2k) ln(t) et de la somme des 1/n^2.
• Exercice II : concavité et extremum. Concavité du logarithme, comparaison des moyennes géométrique et arithmétique, puis point critique et extremum global d'une fonction de deux variables sur ]0,+infini[^2.
• Partie I : calcul de zêta aux entiers pairs. Programmation en Python de la factorielle, des coefficients binomiaux, en itératif et en récursif, et des nombres de Bernoulli, qui donnent zêta(2k) par la formule d'Euler.
• Partie II : généralités sur la fonction zêta. Classe C^1, décroissance, absence de convergence uniforme sur ]1,+infini[, limite en +infini, encadrement par une intégrale et équivalent en 1, puis expression de zêta^2 avec le nombre de diviseurs par une famille sommable.
• Partie III : produit eulérien. Variable aléatoire de loi zêta, indépendance des événements de divisibilité par des entiers premiers entre eux, formule du produit eulérien et divergence de la série des inverses des nombres premiers.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs
• Dérivabilité et convexité
• Bases de Python : expressions, types, instructions, fonctions

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