CCINP 2020 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2020, filière MP, en 4 heures. Thème : Développement ternaire, série de fonctions et fonction de Cantor-Lebesgue.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : développement ternaire. Espace normé des suites bornées et forme linéaire continue qui à une suite associe la somme de u_n/3^n, puis existence du développement ternaire propre d'un réel de [0,1[ par des suites adjacentes, avec des fonctions Python de conversion et un chiffre de contrôle de parité.
• Partie II : étude d'une fonction définie par une série. Fonction égale à la somme des (1 + sin(nx))/3^n : classe C^infini, expression simple obtenue par une série géométrique complexe et calcul de l'intégrale de sin(x)/(10 - 6cos(x)) par deux méthodes.
• Partie III : développements ternaires aléatoires. Variables aléatoires construites sur des chiffres ternaires indépendants : espérance, variance et convergence en probabilité vers 1.
• Partie IV : fonction de Cantor-Lebesgue. Suite de fonctions définie par récurrence sur [0,1], fonction Python récursive, convergence uniforme puis propriétés de la limite, l'escalier du diable : continue, croissante et surjective.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Topologie des espaces vectoriels normés
• Séries numériques et vectorielles
• Nombres réels et suites numériques
• Bases de Python : expressions, types, instructions, fonctions
• Récursivité

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