CCINP 2020 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2020, filière MP, en 4 heures. Thème : Diagonalisation, densité de GL_n et similitudes d'un espace euclidien.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice I : diagonalisation d'une matrice d'ordre 3. Diagonalisation, racine carrée de la matrice, calcul de ses puissances par la matrice de passage puis par une division euclidienne avec le polynôme minimal.
• Exercice II : topologie de GL_n. GL_n est ouvert, dense et non connexe par arcs dans M_n ; application : AB et BA ont le même polynôme caractéristique, mais pas toujours le même polynôme minimal.
• Problème, partie I : exemples et propriétés des similitudes. Exemples en dimension 2 et 3 avec interprétation géométrique, structure de groupe, caractérisation matricielle d'une similitude de rapport k et image des sphères de centre 0.
• Problème, partie II : assertions équivalentes. Une similitude est la composée d'une homothétie et d'un automorphisme orthogonal ; caractérisations par le produit scalaire et par la conservation de l'orthogonalité.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Structures algébriques usuelles

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