CCINP 2022 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2022, filière MP, en 4 heures. Thème : Vandermonde, exponentielle de matrice et produit de Hadamard.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice I : déterminant de Vandermonde. Calcul par récurrence à l'aide d'une fonction polynomiale, puis deux applications : un déterminant de terme général i^j et la non-annulation d'une somme de puissances.
• Exercice II : exponentielle de matrice. Avec une norme d'algèbre : convergence de la série, continuité de l'exponentielle et différentiabilité en la matrice nulle.
• Partie I : exponentielle d'une matrice symétrique. Caractérisation des matrices symétriques positives sur un exemple d'ordre 3, calcul de son exponentielle et preuve que l'exponentielle d'une matrice symétrique positive est symétrique positive.
• Partie II : produit de Hadamard de deux matrices. Stabilité des matrices symétriques positives par le produit terme à terme, racine carrée d'une matrice positive, caractère fermé de cet ensemble et conséquence pour la matrice des exponentielles des coefficients.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Séries numériques et vectorielles

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