CCINP 2025 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2025, filière MP, en 4 heures. Thème : Connexité par arcs, projection orthogonale, comparaison série-intégrale.

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice I : connexité par arcs et dérivée. Image d'un intervalle par la dérivée d'une fonction de classe C^1, puis exemple d'une fonction dérivable à valeurs dans R^2 dont la dérivée a une image non connexe par arcs.
• Exercice II : un minimum par deux méthodes. Minimum d'une somme de trois carrés de deux variables, d'abord par le point critique et la matrice hessienne, puis par une projection orthogonale dans R^3.
• Partie I : théorème de comparaison avec une intégrale. Démonstration du théorème pour une fonction continue, positive et décroissante, exemple des séries en 1/(n(ln n)^alpha), constante d'Euler, équivalent d'une somme et application à une série de fonctions.
• Partie II : contre-exemples. Fonction valeur absolue de sin(2 pi x), non intégrable avec une série associée convergente, puis fonction continue, positive et intégrable, construite avec des triangles, dont la série associée diverge.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés

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