e3a-Polytech 2025 MPI Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2025, filière MPI, en 4 heures. Thème : Extremum sous contrainte, endomorphisme des restes de division euclidienne et points entiers d'un quart de disque.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1 : somme des exponentielles. Extrema locaux et borne inférieure de la somme des e^(x_j) sur R^n, puis minimum global sous la contrainte d'un hyperplan, obtenu par l'inégalité e^t >= 1 + t.
  À revoir : Dérivabilité et convexité
• Exercice 2 : restes de division euclidienne. Division euclidienne de X^n - 1 par X^n - X, PGCD et factorisation, puis endomorphisme qui associe à P le reste de AP par B : matrice, noyau et image supplémentaires, vecteurs propres associés aux racines de B, diagonalisabilité, polynôme caractéristique et déterminant de l'endomorphisme induit sur l'image.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Nombres complexes et trigonométrie
• Exercice 3 : points entiers d'un quart de disque. Séries entières usuelles et produit de Cauchy, sommes de Riemann, dénombrement G(x) des points à coordonnées entières positives du disque de rayon racine de x, équivalent pi x/4, puis série entière indicatrice des carrés et équivalent en 1 d'une fonction construite à partir d'elle.
  À revoir : Techniques fondamentales de calcul en analyse, Séries numériques et vectorielles

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Dérivabilité et convexité
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Nombres complexes et trigonométrie
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Séries numériques et vectorielles

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