Prepa Helpe3a-Polytech 2023 MPI Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2023, filière MPI, en 4 heures. Thème : Endomorphisme de polynômes, intégrale de t^(t^x), opérateur de moyenne et produits infinis en probabilités.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : un endomorphisme de R_n[X]. Base de Taylor en un point et division par (X - a)^r, puis endomorphisme T défini par X P - (X^2 - 1) P'/n : matrice dans la base canonique, racines d'un vecteur propre égales à 1 ou -1, éléments propres et diagonalisabilité.
- Exercice 2 : la fonction F(x), intégrale de t^(t^x) sur ]0,1]. Ensemble de définition, monotonie, minoration, continuité et limites de F, allure de la courbe, puis écriture de F(x) comme somme de la série des (-1)^n/(1 + n x)^(n+1) par intégration terme à terme et fonction Gamma.
- Exercice 3 : l'opérateur de moyenne Psi. Endomorphisme qui associe à f la fonction x -> intégrale de f(xt) sur [0,1] : non surjectivité, injectivité, éléments propres par une équation différentielle linéaire du premier ordre, puis endomorphisme induit sur l'espace engendré par les x^i et x^i ln(x), sa matrice et son inverse.
- Exercice 4 : produits infinis et variables de Bernoulli. Convergence et limite du produit des u_k, cas d'une limite nulle, puis suite de variables de Bernoulli liées par des probabilités conditionnelles : loi, espérance, indépendance et événements presque sûrs.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Séries numériques et vectorielles
- Équations différentielles linéaires
- Dérivabilité et convexité
- Nombres réels et suites numériques
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