e3a-Polytech 2026 MPI Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2026, filière MPI, en 4 heures. Thème : Nombre moyen de résultats manquants, séries de fractions 1/(x - n)^k et matrices symétriques de rang 2.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1 : minimiser le nombre moyen de résultats non obtenus. Inégalité de Jensen, matrice I_p + J définie positive, puis espérance du nombre de résultats jamais obtenus en n épreuves et sa minimisation sur un ouvert borné par gradient, point critique, matrice hessienne et convexité.
  À revoir : Dérivabilité et convexité, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Topologie des espaces vectoriels normés
• Exercice 2 : les fonctions E_k. Fonctions définies par les séries des 1/(x - n)^k sur R privé de Z : existence, périodicité, parité, dérivation terme à terme, puis développement de E_1 et des E_k en série de puissances faisant intervenir zeta(2s).
  À revoir : Séries numériques et vectorielles
• Exercice 3 : une matrice bordée. Matrice nulle sauf sur la dernière ligne et la dernière colonne : diagonalisabilité dans le cas réel, rang 2, valeurs propres racines d'un trinôme et bases des sous-espaces propres, puis condition de non-diagonalisabilité dans le cas complexe.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Dérivabilité et convexité
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Séries numériques et vectorielles

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