Prepa Helpe3a-Polytech 2024 MPI Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2024, filière MPI, en 4 heures. Thème : Opérateur intégral avec arctan, polynômes sur le cercle unité, cases remplies au hasard et matrices équitables.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : un opérateur intégral sur les fonctions bornées. Rappels sur arctan, puis endomorphisme Phi de l'espace des fonctions continues bornées défini par une intégrale à paramètre sur [0,+infini[, régularité, stabilité par limite uniforme et étude complète de g = Phi(1) à l'aide d'une décomposition en éléments simples.
- Exercice 2 : polynômes et cercle unité. Polynôme nul sur le cercle unité, forme sesquilinéaire définie par une intégrale sur [0, 2pi], calcul sur la base canonique et minoration par 1 du maximum de |Q(z)|^2 sur le cercle pour un polynôme unitaire, avec cas d'égalité.
- Exercice 3 : nombre de cases non vides. Suites arithmético-géométriques, puis n boules lancées dans N cases : loi de T_n, relation de récurrence entre les lois, fonction génératrice, espérance et sa limite, retrouvée par des variables indicatrices.
- Exercice 4 : matrices équitables. Matrices vérifiant a_ij = a_ik a_kj : premières propriétés, rang 1, carré, diagonalisabilité et similitude avec diag(n, 0, ..., 0), cas symétrique et dénombrement des matrices équitables à coefficients dans un sous-groupe fini.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Nombres complexes et trigonométrie
- Suites récurrentes
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Structures algébriques usuelles
Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.