Prepa HelpMines-Ponts 2020 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2020, filière MP, en 3 heures. Thème : Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents et théorème de Gerstenhaber.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I : généralités sur les endomorphismes nilpotents. Trace des puissances d'un nilpotent, espace des matrices triangulaires supérieures strictes et sa dimension n(n-1)/2, valeurs possibles du nilindice, liberté des familles (x, u(x), ..., u^(p-1)(x)) et image de u^(p-1) quand le nilindice vaut au moins n-1.
- Partie II : endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien. Représentation des endomorphismes d'image incluse dans une droite sous la forme z donne (a|z).x et calcul de leur trace comme un produit scalaire.
- Partie III : deux lemmes. Nilindice générique d'un sous-espace nilpotent, développement de (u + tv)^k en puissances de t, nullité des traces tr(u^k v) (lemme A) et condition suffisante pour qu'un vecteur soit annulé par tous les éléments du sous-espace (lemme B).
- Partie IV : démonstration du théorème de Gerstenhaber. Récurrence sur la dimension avec projection orthogonale sur un hyperplan, formule de dimension, majoration dim V au plus n(n-1)/2, puis cas d'égalité : existence d'une base où tous les éléments de V sont triangulaires supérieurs stricts.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
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