Mines-Ponts 2021 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2021, filière MP, en 3 heures. Thème : Théorème de De Moivre-Laplace.

Lire le sujet 5 pages · sujet sans corrigé, reproduit sans retouche−+Télécharger le PDF (0,5 Mo)

Ce que traite le sujet, partie par partie

• Résultats préliminaires. Formule de Stirling avec un terme d'erreur, équivalents des parties entières de ax + b, convergence de l'intégrale de la densité gaussienne et développement limité à l'ordre 2 de (x + 1)ln(x + 1).
  À revoir : Techniques fondamentales de calcul en analyse, Nombres réels et suites numériques, Intégration sur un intervalle quelconque
• Étude asymptotique d'une suite. Terme le plus probable d'une loi binomiale B(n,p), équivalent obtenu par Stirling puis convergence de la suite racine(npq) fois cette probabilité maximale.
  À revoir : Nombres réels et suites numériques, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Convergence en loi. Variable centrée réduite Y_n, fonctions en escalier e_n et f_n, convergence simple de f_n vers la densité gaussienne puis convergence de P(a <= Y_n <= b) vers l'intégrale de la gaussienne entre a et b.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Limites et continuité
• Applications et généralisation. Minoration de l'intégrale de la gaussienne sur [-T, T] pour obtenir sa valeur totale, limites de P(Y_n <= b) et P(Y_n >= a), puis densité limite de phi(Y_n) pour une fonction phi de classe C^1 à dérivée non nulle.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Nombres réels et suites numériques
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Limites et continuité

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.