Mines-Ponts 2023 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2023, filière MP, en 3 heures. Thème : Théorème de stabilité de Liapounov.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie A : étude d'une norme sur L(E). Norme subordonnée à la norme euclidienne sur les endomorphismes d'un sous-espace, sous-multiplicativité et majoration des puissances.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés
• Partie B : stabilité en 0 du système linéaire. Décomposition de C^n en sous-espaces caractéristiques, projecteurs associés, majoration de la norme de e^(ta) par un polynôme en |t| fois des exponentielles, puis convergence vers 0 des solutions de y' = Ay quand toutes les valeurs propres sont de partie réelle strictement négative.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Topologie des espaces vectoriels normés
• Partie C : démonstration du théorème de Liapounov. Produit scalaire défini par une intégrale sur [0, +infini[, forme quadratique de Liapounov et sa différentielle, inégalité différentielle puis décroissance exponentielle des solutions du système non linéaire y' = phi(y) au voisinage de l'équilibre.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Topologie des espaces vectoriels normés
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Intégration sur un intervalle quelconque

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