Mines-Ponts 2023 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2023, filière MP, en 4 heures. Thème : Fonction de Wallis : équivalents, série entière et caractérisation par la log-convexité.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie 1 : calcul de sigma(1). Série des x^k/k^2, sommes de cosinus, lemme de type Riemann-Lebesgue pour une fonction de classe C^1 et calcul de la somme des 1/n^2 égale à pi^2/6.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Nombres complexes et trigonométrie, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Parties 2 et 3 : équivalents et développement en série entière. Intégrale de Wallis f(x) des puissances de sin(t) : domaine, relation de récurrence, classe C^2, décroissance et convexité, équivalents en -1 et en +infini, tracé, puis intégrales des puissances de ln(sin t), valeurs de f'(0) et f'(1) et développement en série entière.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Dérivabilité et convexité
• Partie 4 : convergence de suite de fonctions. Développement en série trigonométrique de ln(a^2 cos^2 x + b^2 sin^2 x), intégrale de son carré, puis passage à la limite dans une suite de fonctions pour calculer f''(0).
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Intégration sur un intervalle quelconque
• Partie 5 : convexité logarithmique. La fonction de Wallis est log-convexe, et c'est la seule fonction log-convexe vérifiant la relation fonctionnelle et prenant la valeur pi/2 en 0, avec une généralisation à une relation de pas 2T.
  À revoir : Dérivabilité et convexité

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Nombres complexes et trigonométrie
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Dérivabilité et convexité

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