Mines-Ponts 2024 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2024, filière MP, en 4 heures. Thème : Matrices d'adjacence et phénomènes de seuil dans les graphes aléatoires.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : propriétés algébriques des matrices d'adjacence. Après les définitions (graphes, étoiles, copies), matrices d'adjacence semblables par permutation, diagonalisables, jamais de rang 1, polynôme caractéristique d'une étoile et d'une double étoile par une formule de recollement, puis modèle de graphe aléatoire à arêtes indépendantes de probabilité p_n.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Partie II : une première fonction de seuil. Inégalités P(X > 0) <= E(X) et P(X = 0) <= V(X)/E(X)^2, loi binomiale du nombre d'arêtes et seuil 1/n^2 pour la présence d'au moins une arête.
• Partie III : fonction de seuil de la copie d'un graphe. Dénombrement des copies d'un graphe fixé G_0, espérance et second moment du nombre de copies, et preuve que n^(-omega_0) est une fonction de seuil, appliquée aux étoiles à d branches.
  À revoir : Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires

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