Mines-Ponts 2022 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2022, filière MP, en 4 heures. Thème : Exponentielles de matrices : formule de Trotter-Kato, algèbres de Lie et comportement asymptotique.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie 1 : questions préliminaires. Matrices qui commutent et relation e^(t(A+B)) = e^(tA) e^(tB) par unicité d'un problème de Cauchy, réciproque, majoration de la norme de e^A et déterminant de e^A égal à e^(tr A).
  À revoir : Fonctions vectorielles et arcs paramétrés, Topologie des espaces vectoriels normés, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Partie 2 : formule de Trotter-Kato. Limite de (exp(A/k) exp(B/k))^k égale à exp(A + B) par une estimation en O(1/k^2) et un télescopage.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés, Séries numériques et vectorielles
• Partie 3 : vers les algèbres de Lie. Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé de GL_n(R) : cas de SL_n(R) et de O_n(R), structure d'espace vectoriel stable par crochet, espace tangent en I_n et différentielle du déterminant égale à la trace.
  À revoir : Structures algébriques usuelles, Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Partie 4 : comportement asymptotique. Exemple d'ordre 3 avec une valeur propre double, décomposition en sous-espaces caractéristiques et forme D + N, majoration des coefficients de e^(tA) en O(t^p e^(alpha t)), puis sous-espaces stable, instable et neutre du système X' = AX.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Séries numériques et vectorielles
• Structures algébriques usuelles

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