Prepa HelpMines-Ponts 2020 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2020, filière MP, en 4 heures. Thème : Nombre de sites visités par une marche aléatoire et théorème d'Erdös et Dvoretzky.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie A : préliminaires. Somme des carrés des coefficients binomiaux, formule de Stirling et équivalent de C(2n,n), comparaison série-intégrale pour les sommes de 1/k^a, équivalent de l'intégrale de 1/ln(t) et développement en série entière de 1/racine(1-x).
- Partie B : marches aléatoires et récurrence. Séries génératrices F et G des retours en 0 et du premier retour, relation F = 1 + FG, divergence de la série des P(S_n = 0) si et seulement si le retour est presque sûr, puis E(N_n)/n tend vers la probabilité de ne jamais revenir.
- Partie C : les marches de Bernoulli sur Z. Calcul de P(S_2n = 0), expression explicite de G, loi du premier retour selon |p - q|, puis équivalent de E(N_n) dans le cas symétrique.
- Partie D : un résultat asymptotique. Suites positives liées par une relation de convolution égale à 1 : encadrement de a_n par les sommes partielles de b_n, puis a_n équivalent à 1/(C ln n) quand b_n est équivalent à C/n.
- Partie E : la marche aléatoire simple sur Z^2. Identité de renouvellement, probabilité de retour en 0 après 2n pas égale au carré de C(2n,n)/4^n, et équivalent de E(N_n) en n/ln(n) à une constante près (théorème d'Erdös et Dvoretzky).
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
- Séries numériques et vectorielles
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Nombres réels et suites numériques
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