Prepa HelpMines-Ponts 2025 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2025, filière MP, en 4 heures. Thème : Critère de Schur-Cohn : compter les racines d'un polynôme dans ]-1, 1[.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Parties A et B : polynôme réciproque et liberté d'une famille de polynômes. Polynôme réciproque p_0, racines stables (alpha et 1/alpha racines), cas où toutes les racines sont stables, puis liberté de la famille (f_1, ..., f_n) à l'aide d'endomorphismes sur un espace de fractions rationnelles.
- Partie C : expression de la matrice J(p). Base formée par les (S^T)^i U, écriture de J(p) comme somme de termes de rang 1 puis factorisation J(p) = V D V^T, et non-inversibilité de J(p) en présence d'une racine stable.
- Parties D et E : critère de Schur-Cohn et inversibilité. Nombre de valeurs propres strictement positives d'une matrice symétrique égal à la dimension maximale d'un sous-espace où la forme quadratique est définie positive, critère sigma(p) = pi(J(p)) quand J(p) est inversible, et inversibilité de J(p) si et seulement si p n'a pas de racine stable.
- Parties F et G : cas particulier et méthode générale. Cas où toutes les racines sont stables et simples : perturbation p(rX), dérivée de F(r) = J(p(rX)) en r = 1 et continuité des valeurs propres pour obtenir sigma(p) = n - 1 - pi(J(p')), puis méthode générale par factorisation avec le PGCD de p et p_0.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
- Topologie des espaces vectoriels normés
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