Mines-Ponts 2026 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2026, filière MP, en 4 heures. Thème : Autour de O_n(R) et SL_n(R) : topologie, calcul différentiel et morphismes continus.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : quelques propriétés de O_n(R). Matrices de rotation et leur diagonalisabilité, description de SO_2(R), compacité et connexité par arcs, sous-groupes entre SO_n(R) et O_n(R), probabilités qu'une matrice de Bernoulli soit inversible ou orthogonale, réflexions et sous-groupes compacts de GL_n(R) contenant O_n(R).
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés, Structures algébriques usuelles, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Partie II : calcul différentiel sur O_n(R) et SL_n(R). Différentielle de M donne M^T M, espace tangent de O_n(R) égal aux matrices antisymétriques, gradient du déterminant égal à la comatrice et minimum de la norme euclidienne au carré sur SL_n(R), atteint sur SO_n(R).
• Partie III : morphismes continus de U dans GL_n(R). Sous-groupes bornés de R*, spectre des images, régularité de x donne phi(e^(ix)) obtenue par une intégrale et écriture comme exp(xM).
  À revoir : Structures algébriques usuelles, Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Partie IV : morphismes de (R, +) dans (GL_n(R), x). Matrices réelles semblables sur C donc sur R, noyaux itérés d'un nilpotent, décomposition D + N, nullité de la partie nilpotente et forme réduite par blocs de rotations R_(k x), avec la réciproque.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Topologie des espaces vectoriels normés
• Structures algébriques usuelles
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés

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