Prepa HelpMines-Ponts 2026 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2026, filière MP, en 3 heures. Thème : Équation d'Euler-Lagrange : ligne droite, cycloïde et caténoïde.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I : lemme fondamental du calcul variationnel. Fonction e^(-1/x) prolongée par 0, de classe C^infini, fonction plateau positive sur ]c, d[ et nulle ailleurs, puis nullité d'une fonction continue orthogonale à toutes les fonctions régulières nulles aux bords.
- Partie II : équation d'Euler-Lagrange. Fonctionnelle intégrale sur des fonctions de classe C^2 à bords fixés, variation autour d'un extremum local avec Bolzano-Weierstrass et dérivation sous l'intégrale, équation d'Euler-Lagrange et identité de Beltrami.
- Parties III et IV : plus court chemin et brachistochrone. La courbe de longueur extrémale entre deux points est affine, puis la courbe de descente la plus rapide sous la pesanteur vérifie y(1 + y'^2) = C et se paramètre en cycloïde à l'aide de la fonction arccotan.
- Partie V : la caténoïde. Film de savon entre deux cercles coaxiaux : relation 1 + y'^2 = c^2 y^2, bijection ch de R_+ sur [1, +infini[ et expression explicite de la solution avec argch.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Dérivabilité et convexité
- Limites et continuité
- Topologie des espaces vectoriels normés
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
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