Prepa HelpMines-Ponts 2024 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2024, filière MP, en 3 heures. Thème : Généralisation d'une intégrale de Dirichlet et espérance de |S_n| pour une marche aléatoire.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I : calcul d'une intégrale. Intégrale à paramètre complexe des t^(x-1)/(1 + t e^(i theta)), dérivation sous l'intégrale, fonction constante puis passage à la limite par convergence dominée pour obtenir l'intégrale de t^(x-1)/(1 + t) égale à pi/sin(pi x).
- Partie II : une expression de la fonction sinus. Développement de la même intégrale en série alternée et décomposition de pi/sin(pi x) en série de fractions rationnelles, avec sa conséquence pour y sin(y).
- Partie III : calcul d'une intégrale de Dirichlet généralisée. Convergence et intégration par parties, découpage de l'intervalle en tranches de longueur pi, linéarisation de cos^(2p) par la formule du binôme et valeur exacte de l'intégrale de (1 - cos^(2p+1) t)/t^2.
- Partie IV : calcul de E(|S_n|). Marche aléatoire symétrique sur Z : espérance et variance de S_n, espérance de cos(t S_n), formule intégrale pour |s| et valeur exacte de E(|S_2n|) = E(|S_2n-1|).
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Nombres complexes et trigonométrie
- Séries numériques et vectorielles
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
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