Prepa HelpMines-Ponts 2022 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2022, filière MP, en 3 heures. Thème : Partitions d'un entier : formule asymptotique de Hardy et Ramanujan.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie A : fonctions L et P. Série des z^n/n sur le disque unité, relation exp(L(z)) = 1/(1 - z), majoration par -ln(1 - |z|) et définition de P comme limite du produit des 1/(1 - z^n).
- Partie B : développement de P en série entière. Dénombrement des partitions p_n, produit fini des 1/(1 - z^k) développé par récurrence, sommabilité d'une famille double pour obtenir P comme série entière des p_n z^n, rayon de convergence et formule intégrale donnant p_n.
- Parties C et D : contrôle de P et estimations de sommes. Majorations du module de P(x e^(i theta))/P(x), puis développement asymptotique de sommes de type série quand t tend vers 0 par comparaison avec une intégrale, et calcul de l'intégrale de x e^(-x)/(1 - e^(-x)) égale à pi^2/6.
- Partie E : contrôle des fonctions caractéristiques. Fonction caractéristique d'une variable discrète, cas de la loi géométrique avec ses dérivées et ses moments, puis majoration de l'écart entre la fonction caractéristique d'une variable centrée et une exponentielle gaussienne.
- Parties F et G : convergence vers une gaussienne et conclusion. Produit infini de fonctions caractéristiques de lois géométriques, convergence vers e^(-u^2/2) et intégrale tendant vers racine(2 pi), puis choix t = pi/racine(6n) qui donne l'équivalent de p_n de Hardy et Ramanujan.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Séries numériques et vectorielles
- Nombres complexes et trigonométrie
- Intégration sur un intervalle quelconque
Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.