Mines-Ponts 2025 MP Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2025, filière MP, en 3 heures. Thème : Inégalités de Khintchine pour les sommes de variables de Rademacher.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Inégalité de Hölder. Inégalité de Young xy <= x^p/p + y^q/q par convexité, inégalité de Hölder pour l'espérance et cas p = q = 2 de Cauchy-Schwarz.
  À revoir : Dérivabilité et convexité
• Une inégalité de déviation. Majoration ch(t) <= e^(t^2/2), espérance de l'exponentielle d'une combinaison de variables de Rademacher indépendantes et, par l'inégalité de Markov, majoration exponentielle de la probabilité de grande déviation.
• Inégalités de Khintchine. Expression de E(X^p) par une intégrale de la queue de distribution, majoration du moment d'ordre 4, calcul du moment d'ordre 2 et encadrement des moments d'ordre p par le moment d'ordre 2, avec un argument d'interpolation quand 1 <= p < 2.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque
• Deux conséquences. Produit scalaire E(XY), isométrie entre les suites presque nulles et les combinaisons de variables de Rademacher, équivalence des normes p sur cet espace, puis sous-espace de R^n de dimension log2(n) sur lequel les normes 1 et 2 sont comparables à un facteur racine(n) près.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Dérivabilité et convexité
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Topologie des espaces vectoriels normés

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