Mines-Ponts 2021 MP Mathématiques 2 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 2 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2021, filière MP, en 4 heures. Thème : Fonctions de matrices symétriques, continuité et convexité.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Matrices de permutations. Morphisme du groupe symétrique vers les matrices orthogonales et action par conjugaison sur les matrices diagonales : deux matrices diagonales sont conjuguées par une permutation si et seulement si elles ont les mêmes coefficients avec les mêmes multiplicités.
  À revoir : Structures algébriques usuelles (sup), Structures algébriques usuelles (spé)
• Fonctions de matrices symétriques. Définition de u(f)(S) par diagonalisation orthogonale et interpolation polynomiale, indépendance du choix de la base, linéarité, injectivité et surjectivité, lien avec les polynômes et convergence simple ou uniforme.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Norme et convexité, continuité. Plus petite et plus grande valeur propre par le quotient de Rayleigh, convexité de S_n(I) et norme spectrale, puis continuité du polynôme caractéristique, du spectre ordonné, compacité de O_n(R) et continuité de u(f) et de sa trace.
  À revoir : Topologie des espaces vectoriels normés, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Convexité des fonctions de matrices symétriques. Maximum de la somme des f(U_kk) sur les matrices orthogonalement semblables, inégalité de convexité pour v(f) = Tr(u(f)) et équivalence entre convexité de f et convexité de v(f).
  À revoir : Dérivabilité et convexité

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Structures algébriques usuelles (sup)
• Structures algébriques usuelles (spé)
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés
• Dérivabilité et convexité

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