Prepa HelpMines-Ponts 2023 PC Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2023, filière PC, en 3 heures. Thème : Quelques inégalités de convexité autour du déterminant.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie 1 : questions préliminaires. Caractérisation spectrale des matrices symétriques positives et définies positives et convexité de ces ensembles.
- Partie 2 : une première inégalité de convexité. Inégalité Tr(M)/n ≥ det(M)^(1/n) par convexité de -ln, puis renforcement faisant intervenir la distance de M à det(M)^(1/n) I_n.
- Partie 3 : on continue avec de la convexité. Réduction simultanée d'une matrice définie positive et d'une matrice symétrique, concavité de ln ∘ det sur les matrices définies positives.
- Partie 4 : encore de la convexité. Fonction t ↦ det(I_n + tA) exprimée par les valeurs propres et majoration de ln det(I_n + tA) par t Tr(A).
- Partie 5 : et pour finir, de la convexité. Dérivées de t ↦ det(A + tM) et de det^(-alpha)(A + tM) / alpha, signe de la dérivée seconde et convexité locale qui en découle.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
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