Mines-Ponts 2025 PC Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2025, filière PC, en 3 heures. Thème : Matrices semblables à leur inverse.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie 1 : polynômes réciproques. Caractérisation des polynômes réciproques par la symétrie des coefficients et des racines, polynômes antiréciproques et produit des racines égal à 1 ou -1.
• Partie 2 : le cas diagonalisable. Une matrice diagonalisable est semblable à son inverse selon la forme de son polynôme caractéristique, et contre-exemple hors du cas diagonalisable.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Partie 3 : produits de matrices de symétries. Le produit de deux symétries est inversible et semblable à son inverse, avec une étude de la réciproque en petite dimension.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire
• Partie 4 : la matrice J_n(lambda). Base adaptée à un nilpotent d'indice n, inverse de lambda I_n + N et écriture de J_n(1) et J_n(-1) comme produits de deux symétries.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Partie 5 : une caractérisation des matrices semblables à leur inverse. À partir d'une réduction par blocs de Jordan admise, une matrice inversible est semblable à son inverse si et seulement si elle est produit de deux symétries.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire

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