Mines-Ponts 2020 PC Mathématiques 1 : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours commun Mines-Ponts, France, session 2020, filière PC, en 3 heures. Thème : Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I : généralités sur les endomorphismes nilpotents. Trace nulle des puissances d'un nilpotent par trigonalisation dans C, espace des matrices triangulaires supérieures strictes de dimension n(n-1)/2, familles libres obtenues par itération et majoration du nilindice par n.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire
• Partie II : endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien. Isomorphisme entre E et L(E, R) donné par le produit scalaire, écriture des endomorphismes d'image incluse dans une droite sous la forme a ⊗ x et calcul de leur trace.
  À revoir : Compléments d'algèbre linéaire
• Partie III : deux lemmes. Nilindice générique d'un sous-espace nilpotent, identité sur les traces (lemme C) et condition suffisante pour que ses éléments aient un vecteur propre commun (lemme D), à l'aide de polynômes en t comme (u + tv)^(p-1).
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire
• Partie IV : démonstration du théorème B. Récurrence sur la dimension, par passage à un hyperplan et au quotient, pour montrer qu'un sous-espace nilpotent de dimension n(n-1)/2 est formé de matrices triangulaires supérieures strictes dans une même base (Gerstenhaber).
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Compléments d'algèbre linéaire

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